10  คณิตศาสตร์ของค่าเสื่อมราคา (Mathematics of Depreciation)

Importantหมายเหตุ

ก่อนเริ่มการคำนวณเชิงสัญลักษณ์ด้วยซิมไพ ขอให้ผู้อ่านทำการเรียกใช้คำสั่งดังต่อไปนี้ก่อน

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify

เพื่อจะได้ไม่ต้องเรียกใช้งานทุกครั้ง

10.1 บทนำ (Introduction)

ในทางคณิตศาสตร์การเงิน ค่าเสื่อมราคา (Depreciation) คือกระบวนการปันส่วนมูลค่าของสินทรัพย์ที่มีตัวตน (Tangible Assets) ออกเป็นค่าใช้จ่ายตลอดอายุการใช้งานที่ประมาณการไว้ มูลค่าที่ลดลงนี้ไม่ได้สะท้อนเพียงการเสื่อมสภาพทางกายภาพเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความล้าสมัยทางเทคโนโลยีและการเสื่อมค่าตามกาลเวลา

การเข้าใจกลไกคณิตศาสตร์ของค่าเสื่อมราคามีความสำคัญอย่างยิ่งในการวางแผนภาษี (Tax Planning) และการประเมินโครงการลงทุน เนื่องจากค่าเสื่อมราคาเป็นค่าใช้จ่ายทางบัญชีที่ไม่ได้จ่ายเป็นเงินสดจริง (Non-cash expense) แต่สามารถนำไปลดภาระภาษีได้ ซึ่งส่งผลโดยตรงต่อมูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดสุทธิ

10.2 นิยามและตัวแปรพื้นฐาน

เพื่อให้การวิเคราะห์เชิงสัญลักษณ์ด้วย ซิมไพ เป็นไปอย่างเป็นระบบ เราจะกำหนดตัวแปรมาตรฐานดังนี้:

• \(C\) : ราคาทุนเริ่มต้น (Original Cost)

• \(S\) : มูลค่าซาก (Salvage Value / Scrap Value)

• \(n\) : อายุการใช้งานที่คาดไว้ (Useful Life in years)

• \(W = C - S\) : มูลค่าที่ต้องเสื่อมสภาพรวม (Total Depreciable Amount)

• \(d_t\) : ค่าเสื่อมราคาในปีที่ \(t\)

• \(BV_t\) : มูลค่าตามบัญชี ณ สิ้นปีที่ \(t\) (Book Value)

10.3 วิธีการคำนวณค่าเสื่อมราคา (Methods of Depreciation)

Tip1. วิธีเส้นตรง (Straight-Line Method: SL)

เป็นวิธีที่ง่ายที่สุด โดยสมมติว่าสินทรัพย์เสื่อมค่าลงในอัตราที่คงที่เท่ากันทุกปีตลอดอายุการใช้งาน \[d_t = \frac{C - S}{n}\]

การประยุกต์ใช้ซิมไพ: ในการเขียนโปรแกรม เราสามารถกำหนดความสัมพันธ์เชิงสัญลักษณ์เพื่อหา \(BV_t\) ณ ปีใดๆ ได้ดังนี้:

C, S, n, t = symbols('C S n t')
d = (C - S) / n
BV_t = C - (t * d)

# จัดรูปสมการมูลค่าตามบัญชี
simplify(BV_t)

\(\displaystyle \frac{C n - t \left(C - S\right)}{n}\)

ตัวอย่าง สมมติว่าบริษัทซื้อเครื่องจักรมาในราคา 100,000 บาท (\(C\)) โดยคาดการณ์ว่าจะมีอายุการใช้งาน 5 ปี (\(n\)) และเมื่อสิ้นสุดอายุการใช้งานจะสามารถขายเป็นซากได้ในราคา 10,000 บาท (\(S\))

เราสามารถใช้ซิมไพ แทนค่าตัวแปรเพื่อหาค่าเสื่อมราคารายปี (\(d\)) และมูลค่าตามบัญชี ณ สิ้นปีที่ 3 (\(BV_3\)) ได้ดังนี้:

# 1. นิยามตัวแปรและสมการ
C, S, n, t = symbols('C S n t')
d = (C - S) / n
BV_t = C - (t * d)

# 2. กำหนดค่าตัวเลข (Substitution)
values = {C: 100000, S: 10000, n: 5}

# 3. คำนวณค่าเสื่อมราคารายปี
annual_dep = d.subs(values)
print(f"ค่าเสื่อมราคารายปี (d): {annual_dep} บาท")

# 4. คำนวณมูลค่าตามบัญชี ณ สิ้นปีที่ 3 (t = 3)
bv_year_3 = BV_t.subs(values).subs(t, 3)
print(f"มูลค่าตามบัญชี ณ สิ้นปีที่ 3 (BV_3): {bv_year_3} บาท")

ค่าเสื่อมราคารายปี (d): 18000 บาท
มูลค่าตามบัญชี ณ สิ้นปีที่ 3 (BV_3): 46000 บาท

Tip2. วิธีผลรวมจำนวนปี (Sum-of-the-Years’-Digits Method: SYD)

เป็นวิธีการคิดค่าเสื่อมราคาแบบเร่ง (Accelerated Depreciation) โดยกำหนดให้ค่าเสื่อมราคาสูงในข่วงปีแรกๆ และค่อยๆ ลดลงตามลำดับเลขคณิต

สัดส่วนค่าเสื่อมราคาในปีที่ \(t\) คำนวณได้จาก: \[\text{Rate}_t = \frac{n - t + 1}{\sum_{j=1}^{n} j} = \frac{2(n - t + 1)}{n(n + 1)}\]

การวิเคราะห์ด้วยซิมไพ: เราสามารถใช้ฟังก์ชัน Sum เพื่อแสดงผลรวมของจำนวนปีและหาค่าเสื่อมรวมสะสมได้อย่างแม่นยำ

from sympy import Sum, symbols, Idx, IndexedBase

j = symbols('j', integer=True)
denominator = Sum(j, (j, 1, n)).doit()
denominator

\(\displaystyle \frac{n^{2}}{2} + \frac{n}{2}\)

d_t = (C - S) * (n - t + 1) / denominator

d_t

\(\displaystyle \frac{\left(C - S\right) \left(n - t + 1\right)}{\frac{n^{2}}{2} + \frac{n}{2}}\)

ตัวอย่าง พิจารณาสินทรัพย์ที่มีราคาทุน 100,000 บาท (\(C\)) มูลค่าซาก 10,000 บาท (\(S\)) และมีอายุการใช้งาน 5 ปี (\(n\)) เราต้องการทราบค่าเสื่อมราคาในปีที่ 1 และปีที่ 2 ซึ่งวิธี SYD จะต้องมียอดค่าเสื่อมในระยะแรกสูงกว่าวิธีเส้นตรง

# 1. กำหนดค่าตัวแปร (ต่อจากสมการสัญลักษณ์เดิม)
values_syd = {C: 100000, S: 10000, n: 5}

# 2. คำนวณค่าเสื่อมราคาในปีที่ 1 (t = 1)
dep_year_1 = d_t.subs(values_syd).subs(t, 1)
print(f"ค่าเสื่อมราคาในปีที่ 1: {dep_year_1} บาท")

# 3. คำนวณค่าเสื่อมราคาในปีที่ 2 (t = 2)
dep_year_2 = d_t.subs(values_syd).subs(t, 2)
print(f"ค่าเสื่อมราคาในปีที่ 2: {dep_year_2} บาท")

ค่าเสื่อมราคาในปีที่ 1: 30000 บาท
ค่าเสื่อมราคาในปีที่ 2: 24000 บาท

Tip3. วิธีพิกัดลดลง (Declining Balance Method: DB)

วิธีนี้จะคิดค่าเสื่อมราคาเป็นอัตราคงที่ (\(k\)) ของมูลค่าตามบัญชีต้นงวด ทำให้ค่าเสื่อมราคาเป็นอนุกรมเรขาคณิต (Geometric Sequence)

มูลค่าตามบัญชี ณ สิ้นปีที่ \(t\) คือ: \[BV_t = C(1 - k)^t\] โดยที่อัตราค่าเสื่อมราคา \(k\) หาได้จากเงื่อนไข \(BV_n = S\): \[k = 1 - \left( \frac{S}{C} \right)^{1/n}\]

Tip4. การวิเคราะห์เปรียบเทียบมูลค่าปัจจุบันของเกราะภาษี (Tax Shield Analysis)

ในระดับสูง เราสนใจว่าวิธีใดให้ประโยชน์สูงสุดในเชิงมูลค่าปัจจุบันสุทธิ (NPV) โดยพิจารณาจากเกราะภาษี (Tax Shield) ที่เกิดจากค่าเสื่อมราคา (\(d_t \times \tau\)) โดย \(\tau\) คืออัตราภาษีเงินได้นิติบุคคล

\[PV_{\text{Tax Shield}} = \sum_{t=1}^{n} \frac{d_t \cdot \tau}{(1 + i)^t}\]

การใช้ซิมไพ ช่วยให้นักการเงินสามารถหาอนุพันธ์ (Derivative) ของ \(PV_{\text{Tax Shield}}\) เทียบกับอัตราดอกเบี้ย (\(i\)) หรืออัตราภาษี (\(\tau\)) เพื่อวิเคราะห์ความไว (Sensitivity Analysis) ของนโยบายการบัญชีต่อมูลค่าของกิจการได้อย่างลึกซึ้ง

ตัวอย่าง เพื่อให้เห็นภาพการตัดสินใจเชิงกลยุทธ์ เราจะสร้างสมการมูลค่าปัจจุบันของเกราะภาษี (\(PV_{TS}\)) และหาอนุพันธ์เพื่อดูว่าหากอัตราดอกเบี้ยในตลาด (\(i\)) เปลี่ยนแปลงไป จะส่งผลต่อผลประโยชน์ทางภาษีของวิธีเส้นตรง (SL) อย่างไร

from sympy import symbols, Sum, diff, simplify

# 1. นิยามตัวแปรสัญลักษณ์
C, S, n, t, i, tau = symbols('C S n t i tau')

# 2. นิยามค่าเสื่อมราคาแบบเส้นตรง (SL)
d_SL = (C - S) / n

# 3. สร้างสมการ PV ของ Tax Shield (Geometric Series Sum)
# เราใช้สูตรผลรวมอนุกรมเรขาคณิตสำหรับ Annuity มาช่วยจัดรูป
pv_ts_sl = Sum((d_SL * tau) / (1 + i)**t, (t, 1, n)).doit()

# 4. หาอนุพันธ์เทียบกับ i (Sensitivity to Interest Rate)
sensitivity_i = diff(pv_ts_sl, i)

# แสดงผลการจัดรูปสมการความไว
simplify(sensitivity_i)

\(\displaystyle \begin{cases} 0 & \text{for}\: \frac{1}{i + 1} = 1 \\\frac{\tau \left(C - S\right) \left(i n \left(\frac{1}{i + 1}\right)^{n + 1} + i \left(\frac{1}{i + 1}\right)^{n + 1} + \left(\frac{1}{i + 1}\right)^{n + 1} - 1\right)}{i^{2} n} & \text{otherwise} \end{cases}\)

10.4 การวิเคราะห์เปรียบเทียบเชิงบูรณาการ (Comprehensive Comparison)

เพื่อให้เห็นความแตกต่างของแต่ละนโยบายการบัญชี พิจารณาสินทรัพย์ราคา \(C = 200,000\) บาท มูลค่าซาก \(S = 20,000\) บาท อายุการใช้งาน \(n = 8\) ปี โดยกำหนดอัตราภาษีเงินได้นิติบุคคล \(\tau = 20\%\) และอัตราคิดลด (Discount Rate) \(i = 5\%\)

import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
from sympy import symbols, N

# 1. กำหนดค่าตัวแปร
C_val, S_val, n_val = 200000, 20000, 8
years = list(range(1, n_val + 1))

# --- วิธีที่ 1: Straight-Line (SL) ---
d_sl = (C_val - S_val) / n_val
dep_sl = [d_sl] * n_val

# --- วิธีที่ 2: Sum-of-the-Years'-Digits (SYD) ---
syd_sum = n_val * (n_val + 1) / 2
dep_syd = [(C_val - S_val) * (n_val - t + 1) / syd_sum for t in years]

# --- วิธีที่ 3: Declining Balance (DB) ---
k_db = 1 - (S_val / C_val)**(1/n_val)
dep_db = []
bv_temp = C_val
for t in years:
    d = bv_temp * k_db
    dep_db.append(d)
    bv_temp -= d

# --- วิธีที่ 4: Double Declining Balance (DDB) - ยอดนิยมในทางปฏิบัติ ---
k_ddb = 2 / n_val
dep_ddb = []
bv_temp = C_val
for t in years:
    d = bv_temp * k_ddb
    # ปรับแต่งปีสุดท้ายไม่ให้ต่ำกว่ามูลค่าซาก
    if bv_temp - d < S_val:
        d = bv_temp - S_val
    dep_ddb.append(d)
    bv_temp -= d

กราฟเปรียบเทียบค่าเสื่อมราคา

Importantบทวิเคราะห์สรุปผล

จากการเปรียบเทียบทั้ง 4 วิธี สามารถสรุปประเด็นสำคัญเพื่อการตัดสินใจทางการเงินได้ดังนี้:

1. ลักษณะของค่าใช้จ่าย (Expense Profile):

   • SL: มีลักษณะเป็นเส้นตรงขนานกับแกนนอน เหมาะสำหรับสินทรัพย์ที่ให้ประโยชน์สม่ำเสมอทุกปี
   • SYD & DB: มีลักษณะเป็น Accelerated Depreciation (ค่าเสื่อมราคาแบบเร่ง) โดยค่าใช้จ่ายในปีที่ 1 สูงกว่าวิธี SL อย่างมาก (วิธี DB ในตัวอย่างนี้สูงถึงเกือบ 50,000 บาท ขณะที่ SL เพียง 22,500 บาท)

2. เกราะภาษีและมูลค่าปัจจุบัน (Tax Shield & NPV):

   • หากคำนวณมูลค่าปัจจุบันของเกราะภาษี (\(PV_{TS}\)) วิธี DB และ DDB จะให้มูลค่าสูงสุด เนื่องจากมีการรับรู้ค่าใช้จ่าย “ก้อนใหญ่” ในช่วงปีแรกๆ ซึ่งสอดคล้องกับหลักการ Time Value of Money (เงินในวันนี้มีค่ามากกว่าเงินในวันหน้า)

   • ข้อสรุปเชิงนโยบาย: ในสภาวะที่ธุรกิจต้องการกระแสเงินสดหมุนเวียน (Cash Flow) ในช่วงเริ่มต้นโครงการ การเลือกใช้วิธีการคิดค่าเสื่อมราคาแบบเร่งจะช่วยลดภาระภาษีได้มากกว่าในเชิงเศรษฐศาสตร์

3. ความเหมาะสมกับประเภทสินทรัพย์:

   • วิธีเร่ง (DB/SYD): เหมาะกับสินทรัพย์ที่มีความล้าสมัยทางเทคโนโลยีเร็ว (เช่น คอมพิวเตอร์, เครื่องจักรไฮเทค) หรือสินทรัพย์ที่มีค่าซ่อมบำรุงสูงขึ้นในปีท้ายๆ

   • วิธีเส้นตรง (SL): เหมาะกับอสังหาริมทรัพย์หรือสินทรัพย์ที่รายได้มีความคงที่ตลอดอายุการใช้งาน

10.5 แบบฝึกหัดท้าย

ส่วนที่ 1: การคำนวณพื้นฐาน (Fundamental Calculations)

1. บริษัทแห่งหนึ่งซื้อลิขสิทธิ์ซอฟต์แวร์วิเคราะห์ข้อมูลราคา 500,000 บาท คาดว่าจะมีอายุการใช้งาน 4 ปี โดยไม่มีมูลค่าซาก (\(S=0\)) จงคำนวณค่าเสื่อมราคารายปีด้วยวิธีเส้นตรง (Straight-Line) และแสดงสมการมูลค่าตามบัญชี (\(BV_t\))

2. เครื่องจักรราคา 1,200,000 บาท อายุการใช้งาน 5 ปี มูลค่าซาก 200,000 บาท จงหาค่าเสื่อมราคาในปีที่ 1 และปีที่ 2 หากใช้วิธีผลรวมจำนวนปี (SYD)

3. สินทรัพย์ชนิดหนึ่งราคา 800,000 บาท อายุการใช้งาน 10 ปี มูลค่าซาก 80,000 บาท จงคำนวณหาอัตราค่าเสื่อมราคาคงที่ (\(k\)) สำหรับวิธีพิกัดลดลง (Declining Balance) ที่ทำให้มูลค่าตามบัญชีปีสุดท้ายเท่ากับมูลค่าซากพอดี (แสดงทศนิยม 4 ตำแหน่ง)

4. จากโจทย์ข้อ 3 จงคำนวณมูลค่าตามบัญชี (\(BV_t\)) ณ สิ้นปีที่ 3 โดยใช้ซิมไพ ในการแทนค่าตัวเลขลงในสมการสัญลักษณ์

5. เปรียบเทียบค่าเสื่อมราคาสะสม (Accumulated Depreciation) ณ สิ้นปีที่ 2 ระหว่างวิธี SL และ SYD ของสินทรัพย์ราคา 600,000 บาท อายุการใช้งาน 3 ปี มูลค่าซาก 60,000 บาท

ส่วนที่ 2: การวิเคราะห์เชิงลึกและแนวคิด (Advanced Analysis & Concepts)

6. จงใช้ SymPy พิสูจน์ว่าผลรวมของค่าเสื่อมราคาทุกปี (\(d_1 + d_2 + ... + d_n\)) ของวิธี SYD จะมีค่าเท่ากับมูลค่าที่ต้องเสื่อมสภาพรวม (\(C-S\)) เสมอ

7. ในกรณีที่มูลค่าซาก (\(S\)) เป็นศูนย์ เหตุใดเราจึงไม่สามารถใช้วิธีพิกัดลดลง (DB) ตามทฤษฎีได้โดยตรง และในทางปฏิบัติวิศวกรรมการเงินมีวิธีแก้ไขปัญหานี้อย่างไร

8. พิจารณาสินทรัพย์ราคา \(C\) อายุการใช้งาน \(n\) ปี อัตราภาษี \(\tau\) และอัตราคิดลด \(i\) จงสร้างสมการเชิงสัญลักษณ์ในซิมไพ เพื่อหาค่ามูลค่าปัจจุบันของเกราะภาษี (\(PV_{TS}\)) สำหรับวิธีเส้นตรง และหาอนุพันธ์เทียบกับอัตราภาษี (\(\frac{\partial PV_{TS}}{\partial \tau}\)) เพื่ออธิบายความไวของผลประโยชน์ทางภาษี

9. หากอัตราดอกเบี้ยในตลาด (\(i\)) มีแนวโน้มเพิ่มสูงขึ้นอย่างรวดเร็ว ในฐานะนักการเงิน ท่านจะแนะนำให้บริษัทเลือกใช้วิธีคิดค่าเสื่อมราคาแบบเร่ง (Accelerated) หรือแบบเส้นตรง (SL) เพื่อรักษาความมั่งคั่งของบริษัท จงอธิบายโดยใช้หลักการมูลค่าของเงินตามเวลาประกอบ

10. (โจทย์บูรณาการ) จงเขียนสคริปต์ไพธอนสั้นๆ โดยใช้ซิมไพ เพื่อเปรียบเทียบว่า ระหว่างวิธี SYD และ DB วิธีใดให้ค่าเสื่อมราคาในปีแรกสูงกว่ากัน สำหรับสินทรัพย์ราคา \(C=1,000,000\) บาท \(S=100,000\) บาท และ \(n=5\) ปี

[1]

จลีพร โกลากุล และ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย. คณะพาณิชยศาสตร์และการบัญชี, คณิตศาสตร์การเงิน, พิมพ์ครั้งที่ 2. กรุงเทพฯ: คณะพาณิชยศาสตร์และการบัญชี จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 1984.

[2]

ประสิทธิ์ พยัคฆพงษ์, คณิตศาสตร์การเงินและการลงทุน, พิมพ์ครั้งที่ 1. กรุงเทพฯ: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์, 2004.

[3]

S. G. Kellison, The Theory of interest. ใน Irwin series in insurance and economic security. Homewood, Ill: R. D. Irwin, 1970.

[4]

มานพ วราภักดิ์, ทฤษฎีดอกเบี้ย = Theory of interest. กรุงเทพฯ: สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2006.

[5]

A. Meurer และคณะ, “SymPy: symbolic computing in Python”, PeerJ Computer Science, ปี 3, น. e103, ม.ค. 2017, doi: 10.7717/peerj-cs.103.

[6]

J. D. Hunter, “Matplotlib: A 2D graphics environment”, Computing in Science & Engineering, ปี 9, ฉบับที่ 3, น. 90–95, 2007, doi: 10.1109/MCSE.2007.55.